პირველი დავალება, 1.4 პარაგრაფის 1-7, 9, 13-23 კენტები, 22, 25, 29, 31, 33, 35.

1,2 და 3 ამოცანება არის g ფუნქციაზე, რომელის განსაზღვრის არეა [-2;2] და რომლის გრაფიც ნაჩვენებია სურათზე:

1)დაადგინეთ, არის თუ არა g (ა) უწყვეტი, (ბ) მარცხნიდან უწყვეტი, (გ) მარჯვნიდან უწყვეტი და (დ) წყვეტილი თითოეულ შემდგომ წერტილზე: -2, -1, 0, 1, 2.

-2-ზე არის მარჯვნიდან უწყვეტი და უბრალოდ უწყვეტი;
-1-ზე არის წყვეტილი;
0-ზე არის წყვეტილი, მაგრამ მარცხნიდან უწყვეტი;
1-ზე წყვეტილი და მარჯვნიდან უწყვეტი;
2-ზე წყვეტილი.

ადვილია და რატომაა ასე არ გავარჩევ. უწყვეტობის განსაზღვრებას ჩახედეთ და გაიგებთ.

2)რა ადგილას აქვს g ფუნქციას მოცილებადი წყვეტა(removable continuity თუ იცით ქართულად როგორაა, მითხარით) და როგორ უნდა შევცვალოთ ამ წერტილებში ფუნქციის მნიშვნელობა, რომ ფუნქცია მოცემულ წერტილში გახდეს უწყვეტი?

f(-1) = 1; f(2) = 0; ანუ -1 წერტილში მნიშვნელობა უნდა იყოს 1 და 2 წერტილში - 0;

3)აქვს თუ არა g-ს ამ მონაკვეთში აბსოლუტური მაქსიმუმი და მინიმუმი?

მაქსიმუმი არ აქვს (როცა x=1, მაშინ y=2 რომ იყოს, 2 იქნებოდა მაქსიმუმი), მინიმუმი 0-ია;

4) რა წერტილებშია გრაფი f წყვეტილი, მარცხნიდან უწყვეტი, მარჯვნიდან უწყვეტი?

x=1 წყვეტილი;
x=2 წყვეტილი, მარჯვნიდან უწყვეტი;
x=3 წყვეტილი;
x=4 წყვეტილი, მარჯვნიდან უწყვეტი;
x=5 წყვეტილი, მარჯვნიდან უწყვეტი.

5)შეგვიძლია თუ არა ფუნქცია f-ს შევუცვალოთ მნიშვნელობა, როცა x=1, რომ ამ წერტილში ფუნქცია გახდეს უწყვეტი?

არა, რადგან ორივე მხრიდან ფუნქცია უსასრულობისკენ მიისწრაფის.

6)ფუნქცია sgn(x) = x/|x| არც წყვეტილია და არც უწყვეტი, როცა x=0. როგორაა ეს შესაძლებელი?

ზუსტად არ ვიცი, მაგრამ სავარაუდოდ იმიტომ, რომ ფუნქცია ამ წერტილზე განსაზღვრული არაა.

9) f(x) = {1/x^2 თუ x!=0 ;  0 თუ x=0};
რა წერტილებშია გრაფი უწყვეტი, წყვეტილი, მარცხნიდან უწყვეტი, მარჯვნიდან უწყვეტი?

უწყვეტია ყველგან, გარდა 0-ისა, რადგან როცა x მიისწრაფის ნულისკენ (სულ ერთია რომელი მხრიდან), ფუნქციის მნიშვნელობა მიისწრაფის უსასრულობისკენ.

13-ში და 15-ში, როგორ უნდა განვსაზღვროთ  ფუნქცია მოცემულ წერტილში, რომ ამ წერტილში იგი უწყვეტი გახდეს?
13) (x^2 - 4)/(x - 2),  x = 2;

რომ გავამარტივოთ, (x^2 - 4)/(x - 2) = x + 2
შესაბამისად პასუხია 2 + 2 = 4.

15)(t^2 - 5t + 6)/(t^2 - t - 6), t = 3;

აქ რომ გავამარტივოთ: (t^2 - 5t + 6)/(t^2 - t - 6) = (t - 2)(t - 3)/(t + 2)(t - 3) = (t - 2)/(t + 2)
და t=3-ს შემთხვევაში პასუხია 1/5.

17) k=8, რომ მარჯვენა ზღვარიც ამ ფუნქციის იყოს 4, როცა x უახლოვდება 2-ს;

19)მინიმუმი არის 0, მაქციმუმი არ აქვს, რადგან ინტერვალი ღიაა, როგორც 26-ე გვერდის 1.28 გრაფში.

21) 16, ღობის ამოცანის ანალოგიურია: თუ ეს რიცხვებია a და b, მაშინ a + b = 8 და უნდა ვიპოვოთ მაქსიმალური a*b = X.
b = 8 - a; არცერთი არაა უარყოფითი, ამიტომ a ეკუთვნის დახურულ ინტერვალს [0, 8].
მაშინ X შეგვიძლია ფუნქციის სახით წარცადგინოთ:

X = a(8-a)= 8*a - a^2.

და უნდა ვიპოვოთ მაქსიმუმი ამ შუალედში: [0, 8].
ეს ფუნქცია შეგვიძლია ასე წარმოვადგინოთ:

X = 16 - (a - 8)^2  (გაამარტივეთ და წინა ფუნქციას მიიღებთ);
გამოდის, რომ X = 16 არის მაქსიმუმი, სხვა შემთხვევებში a!=8 და 16-ს ვაკლებთ დადებით რიცხვს.

22) a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 64 - 2ab.
ab მაქსიმუმ 16-ია, ანუ მინიმალური მნიშვნელობაა 64-2*16=32.
ab-ს მინიმუმია 0, ანუ მაქსიმალური მნიშვნელობაა 64.

23) T = 100 - 30x + 3x^2. ამ ფუნქციის მინიმუმი უნდა ვიპოვოთ.

ფუნქცია ჩვეულებრივი პარაბლოაა, ანუ მინიმუმი იქნება წვეროში. წვეროა (5, 25) წერტილი.

25) f(x) = (x^2 - 1)/x
რა ინტერვალშია დადებითი და რა ინტერვალშია უარყოფითი.

ტრივიალურია :) დადებითია (-1;0) და (1; უსასრულობა) ინტერვალებში. დანარჩენ ინტერვალებში უარყოფითია.

29) f(x) = x^3 + x - 1. უნდა ვიპოვოთ 0 x=0-სა და x=1-ს შორის.

ჩავსვათ, მაგალითად 0.2 და 0.9.
თუ f(0.2) = 0.008 - 0.8 = -0.798
თუ f(0.9) = 0.729 - 0.1 = 0.629

გამოდის, რომ მოცემული მონაკვეთის ერთ ნაწილში ფუნქცია დადებითია, მეორეში - უარყოფითი, ამასთანავე იგი უწყვეტია, შესაბამისად იგი x ღერძს უნდა კვეთდეს.

31)ჰმმ....არ ვიცი :D

33) even function რას ნიშნავს მითხარით და (ალბათ) ამოვხსნი

35)ამის ამოსახსნელად პროგრამა უნდა გამოიყენოთ.