ლექცია 6, ნაწილობრივი დალაგება

1. რას ნიშნავს ნაწილობრივი დალაგება? რას ნიშნავს რომ დალაგება არის სუსტი (weak) ან მკაცრი (strict). რას ნიშნავს რომ დალაგება არის ტოტალური? (მიეცით ტოტალურის განსაზღვრება, რომელიც გამოდგება როგორც სუსტი, ასევე მკაცრი დალაგების შემთხვევაში.) რას ნიშნავს მინიმალური ელემენტი? რას ნიშნავს მინიმუმი? მოიყვანეთ შესაბამისი მაგალითები.

ნაწილობრივი დალაგება არის ბინარული მიმართება, რომელიც არის:

• ტრანზიტული, ანუ თუ a<b და b<c, ეს ნიშნავს რომ a აუცილებლად ნაკლებია b-ზე.
• ასიმეტრიული, ანუ თუ a ნაკლებია b-ზე, b ვერ იქნება a-ზე ნაკლები

რეფლექსურობა ნიშნავს რომ ელემენტი შეიძლება თავის თავს დარდებოდეს, ანუ a იყოს თავის თავზე ნაკლები.

თუ ნაწ. დალაგებას ახასიათებს რეფლექსურობა, მაშნ ის სუსტია, თუ არა - მკაცრი.

მინიმალურია ელემენტი, რომელიც ნაკლებია ყველა ისეთ ელემენტზე, რომელსაც დარდება.

მინიმუმი არის ისეთი ელემენტი, რომელიც ყველას დარდება და ყველაზე ნაკლებია.

Problem 7.2 (a,c,d)

გვაქვს ნაწილობრივი დალაგება სიმრავლე P{1, 2,..., 6}-ის ყველა შესაძლო ქვესიმრავლის (ელემენტთა რაოდენობის მიხედვით).

ა) იპოვეთ მაქსიმალური ჯაჭვის ზომა, აღწერეთ ერთ-ერთი
ბ)აღწერეთ ყველაზე გრძელი ანტიჯაჭვი
გ)მაქსიმალური და მინიმალური ელემენტები. არიან თუ არა ისინი, შესაბამისად, მინიმუმი და მაქსიმუმი?
დ)უპასუხეთ წინა კითხვებს P{1, 2,..., 6}-∅-სთვის.

ა)მაქსიმალური ჯაჭვის ზომა იქნება 7:
{∅}->{1}->{1,2}->{1,2,3}->{1,2,3,4}->{1,2,3,4,5}->{1,2,3,4,5,6}

ბ)ყველაზე გრძელი ანტიჯაჭვი:
სამწევრიანი ქვესიმრავლეები: {1,2,3} ; {1,2,4}; {1,2,5}.......

გ)მინიმალური - {∅}, მაქსიმალური - {1,2,3,4,5,6}. ისინი მინიმუმი და მაქსიმუმიც არიან (ყველას დარდებიან)

დ)ა){1}->{1,2}->{1,2,3}->{1,2,3,4}->{1,2,3,4,5}->{1,2,3,4,5,6}
     ბ)იგივე
     გ)მაქსიმალური/მაქსიმუმი - იგივე. მინიმალურები იქნებიან ერთწევრიანი ქვესიმრავლეები - {1}; {2}.... - მინიმუმი არ გვექნება.

პა ხოდუ, ბ არ უნდა გამეკეთებინა :D

problem 7.4 (d,g)

არის თუ არა ეს ნაწილობრივი დალაგება? სუსტია თუ მკაცრი? აჩვენეთ მინიმალური და მაქსიმალური ელემენტები (თუ არსებობენ).

d) მიმართება "უგებს" ჯეირანში.

g) გაყოფადობა მთელ რიცხვებში.

ამის ამოსახსნელად, უნდა შევამოწმოთ, სრულდება თუ არა ტრანზიტულობა და ასიმეტრიულობა

d) დარღვეულია ტრანზიტულობა - ქვა უგებს მაკრატელს, მაკრატელი ქაღალდს, ქაღალდი - ქვას.

g)1/-1 = -1 და -1/1 = -1, რაც იმას ნიშნავს, რომ 1<-1 და -1<1, ანუ დარღვეულია ანტისიმეტრიულობა.

problem 7.6

არაუარყოფითი მთელი რიცხვები დალაგებულია გაყოფადობით.
ა)აჩვენეთ, რომ ამ დალაგებას აქვს უნიკალური მინიმალური ელემენტი.
ბ)და მაქსიმალურიც
გ)დაასაბუთეთ, რომ გვაქვს უსასრულოდ გრძელი ჯაჭვი
დ)დაასაბუთეთ, რომ გვაქვს უსასრულოდ გრძელი ანტიჯაჭვი
ე)იპოვეტი მინიმალური და მაქსიმალური 1-ზე დიდი რიცხვებში.

ა) მინიმალურია 1, რადგან ყველა სხვა რიცხვს ყოფს.
ბ) მაქსიმალურია 0, რადგან ყველა ყოფს მას.
გ) 2-ის ხარისხები (ან ნებისმიერი სხვა რიცხვის)
დ) მარტივი რიცხვები - ერთმანეთს არ დარდებიან.
დავასაბუთოთ, რომ მათი რაოდენობა უსასრულოა:
დავუშვათ საწინააღმდეგო, რომ სულ გვაქვს k ცალი მარტივი რიცხვი. გადავამრავლოთ ყველა ეს მარტივი რიცხვი ერთმანეთზე. დავუმატოთ ერთი. მიღებული რიცხვი არ იყოფა არც ერთზე ამ k მარტივი რიცხვებიდან. შესაბამისად ეს რიცხვი k-ზე მეტია და ან მარტივია, ან იყოფა k-ზე დიდ მარტივ რიცხვზე. ორივე შმეთხვევაში მივიღეთ წინააღმდეგობა.
ე)მინიმალურები იქნებიან მარტივი რიცხვები - მათ არაფერი არ ყოფთ. მაქსიმალური არ გვექნება.

5) თუ გვაქვს ერთადერთი მინიმალური წევრი, იქნება თუ არა იგი აუცილებლად მინიმუმიც?

იმისთვის, რომ მინიმალური წევრი იყოს მინიმუმი, იგი უნდა დარდებოდეს დალაგების ყველა სხვა წევრს. დავუშვათ, რამდენიმეს არ დარდება. მაშინ ისინი, რომლებსაც იგი არ დარდება, შევადაროთ ერთმანეთს. ერთ-ერთი მათგანი მეორეზე მცირე იქნება, მესამე - მეორეზე და ა.შ. ბოლოს დავალთ მათ შორის მინიმალურზე (თუ ეს სიმრავლე სასრულია, წინააღმდეგ შემთხვევაში უსასრულოდ დავეშვებით). გამოვიდა, რომ გვაქვს 2 მინიმალური წევრი, რაც ეწინააღმდეგება დაშვებას

P.S. - აზიზას ახსნილია და იმედია სწორად გადმოვეცი

6) მოიფიქრეო რაღაცაო და დავიკიდოთ, ეგეთი არ მოვა