ლექცია 3, Mathematical Data Types

1. დაამტკიცეთ, რომ A∪B∪C= (A−B) ∪ (B−C) ∪ (C−A) ∪(A∩B∩C).

მითითება (წიგნის): A ან B ან C = (A და ~B) ან (B და ~C) ან (C და ~A) ან (A და B და C).

მითითება (ჩემგან): შინაარსობრივად ერთი და იგივეა.

2. ორი A და B სიმრავლის ნამრავლი A×B ეს არის ყველა ისეთ წყვილთა სიმრავლე (a,b), სადაც a ∈ A, და b ∈ B. ანალოგიურად განისაზღვრება რამდენიმე სიმრავლის ნამრავლი (ნახეთ გვ. 55), მაგალითად: A×B×C×D = {(a,b,c,d) | a∈A, b∈B, c∈C, d∈D}. ვთქვათ A={0,1}. განსაზღვრეთ სიმრავლეები A×A და A×A×A. თუ 0 და 1 წერტილები წარმოადგენენ ერთეულოვანი მონაკვეთის ბოლოებს, რა გეომეტრიული ინტერპრეტაცია შეიძლება მივცეთ A×A და A×A×A სიმრავლეებს? რა იქნებოდა პასუხი, თუ A სიმრავლე იქნებოდა [0,1] მონაკვეთი?

A×A = { (0,1); (0,0); (1,0); (1,1) }. რატის საყურადღებოდ :) {0} და {1} იმიტომ არა, რომ ცარიელ სიმრავლეს არ "ვიღებთ" რადგან ცარიელი სიმრავლე ელემენტი არაა. და (0,1)-ს რომ ვიღებთ, (1,0) მაინც უნდა ავიღოთ - https://answers.yahoo.com/question/index?qid=20091108043119AAxbcJn

A×A×A = { (0,0,0); (0,0,1); (0,1,0); (1,0,0); (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0); (1,1,1) } - მგნონი არც ერთი არ გამომრჩა :)

A×A არის კვადრატი, A×A×A არის კუბი.
თუ A სიმრავლე იქნებოდა [0,1] მონაკვეთი, მაშინ A×A იქნებოდა კვადრატში მოქცეული ყველა წერტილის ერთობლიობა - კვადრატის ფართობი, ხოლო A×A×A - კუბის მოცულობა.

3. ამ ამოცანის ამოხსნის მაგივრად, ჯობია გითხრათ, როდისაა ბინარული მიმართება ფუნქცია, ტოტალური, სურექცია, ინექცია და ბიექცია. ეს თუ იცით, მსგავსი ამოცანები ძალიან ადვილია.

ფუნქცია - დომეინის (A-ს) თითოეულ ელემენტს უერთდება მაქსიმუმ 1 ხაზი.
ტოტალური - დომეინის ყოველ ელემენტს უკავშირდება 1 ხაზი მაინც.

ინექცია - კოდომეინის (B-ს) თითოეულ ელემენტს უერთდება მაქსიმუმ 1 ხაზი - ფუნქციის შებრუნებული.
სურექცია - კოდომეინის ყოველ ელემენტს უკავშირდება 1 ხაზი მაინც - ტოტალურის შებრუნებული.

ბიექცია - ყველაფერი ერთად როცა სრულდება, ანუ დომეინის და კოდომეინის ყოველ წევრს უერთდება ზუსტად 1 ხაზი.

4)მოცემულია მიმართება f(x) =1/x^2. განსაზღვრეთ არის თუ არა ეს მიმართება ფუნქცია, ინექცია, ტოტალური, სურექცია, ბიექცია თუ
ა) დომეინი და კოდომეინი არის R (ნამდვილი რიცხვები).
ბ) დომეინი და კოდომეინი არის R+ (დადებითი ნამდვილი რიცხვები).

ა)ფუნქცია - თითოეულ x-ს თითო  y, ინექცია - თითოეულ y-ს თითო  x.
ბ)ბიექცია.

5)   A = {a0,a1,...,an−1};
      B = {b0,b1,...,bm−1}.
უნდა ვაჩვენოთ ცალსახა შესაბამისობა A×B-სა და მთელ რიცხვებს 0-დან mn − 1-მდე.

დავუშვათ, j იყოს B სიმრავლიდან არჩეული  ელემენტის ინდექსი, k კი A სიმრავლიდან არჩეული  ელემენტის ინდექსი.
მაშინ, შესაბამისობას ვაჩვენებთ შემდეგი ფორმულით: j*n+k. ანუ, bj-სა და ak-ს შეესაბამება j*n+k მთელი რიცხვი. შინაარსობრივად, რიცხვები 0-დან mn − 1-მდე დავყავით n სიგრძის მონაკვეთებად, j-ს მიხედვიდ ვირჩევთ მონაკვეთს, ხოლო k-ს მიხედვით მონაკვეთში ერთ-ერთ რიცხვს.


6) ეს ამოცანა თითქმის მთლიანად ახსნილია მითითბებში.
წაიკითხეთ ეგ მითითებები

ბ)კი, რადგან ბიექციაა
გ)კი, რადგან ბიექციაა
დ)ლურჯი ისრიდან გადავალთ წითელზე, წითლიდან ლურჯზე და ა.შ. უსასრულოდ.