ლექცია 1, What Is a Proof და უსასრულოდ დაშვების პრინციპი

problem 1.4 აჩვენეთ, რომ (log7)n  (შვიდის ფუძით) ან არაუარყოფითი მთელია ან ირაციონალური.

დავუშვათ საწინააღმდეგო. თუ (log7)n რაციონალურია, იგი წარმოდგება უკვეცი წილადის სახით:

(log7)n = a/b, აქედან  7^a=n^b. აქედან გამოდის, რომ n არის 7-ის ჯერადი: n=7^k. შესაბამისად 7^a=7^(k*b). გამოდის, რომ a=k*b, ანუ წილადი არ არის უკვეცი, რაც ეწინააღმდეგება დაშვებას.

problem 1.5

√2-ის მაგალითზე დაამტკიცეთ რომ ირაციონალური რიცხვი შეიძლება ავიყვანოთ ირაციონალურ ხარისხში და მივიღოთ რაციონალური რიცხვი.

√2 ავიყვანოთ √2 ხარისხში - √2^√2. ეს რიცხვი ან რაციონალურია, ან ირაციონალური. თუ რაციონალურია, მივიღეთ რომ დებულება ჭეშმარიტია. თუ ირაციონალურია, კიდევ ერთხელ ავიყვანოთ √2 ხარისხში: (√2^√2)^√2=√2^2=2. გამოვიდა, რომ ირაციონალური რიცხვი ავიყვანეთ ირაციონალურ ხარისხში და მივიღეთ რაციონალური რიცხვი.

problem 1.7

დაამტკიცეთ, რომ 2^(1/3)  (კუბური ფესვი ორიდან) ირაციონალურია. დავუშვათ საწინააღმდეგო: 2^(1/3) = a/b. ავიყვანოთ მესამე ხარისხში.                 2= a^3/b^3.  აქედან 2*b^3 = a^3. გამოდის, რომ  a იყოფა 2-ზე. შესაბამისად, a^3 იყოფა რვაზე. a=2*k, a^3=8*k. გამოდის, რომ 2*b^3 = 8*k, b^3 = 4*k.  დავადგინეთ, რომ b-ც ლუწია, ანუ a/b არაა უკვეცი და მივიღეთ წინააღმდეგობა.

problem 1.8

√2-ის ირაციონალურობის ალტერნატიული დამტკიცების გარჩევა.

დავუშვათ, √2 რაციონალურია. q იყოს ყველაზე მცირე ნატურალუტი რიცხვი, რომლისთვისაც (√2 - 1)*q არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი.                           q'-ით ავღნიშნოთ ეს რიცხვი. 0 < q' < q

გავამრავლოთ (√2 - 1)  q'-ზე:   (√2 - 1) *q' = (√2 - 1)*(√2 - 1)*q = (2*(1-√2) +1)*q = (1-2(√2-1))q = q - 2*q*(√2-1)

მიღებული როცხვი მთელია და მიღებულია (√2-1)-ის q-ზე მცირე რიცხვზე გამრავლებით, რაც ეწინააღმდეგება დაშვებას.

problem 1.9

დაამტკიცეთ, რომ 2*(log2)3 ირაციონალურია.

ისევ და ისევ :) , დავუშვათ საწინააღმდეგო: 2*(log2)3 = a/b

(log2)9 = a/b,    2^a=9^b.

2^a ყოველთვის ლუწია (თუ a =!= 0), 9^b - ყოველთვის კენტია, ანუ ტოლობა არასწორია და მივიღეთ წინააღმდეგობა.

უსასრულოდ დაშვების მეთოდი

problem 2.2

დაამტკიცეთ, რომ ტოლობას 8*a^4 + 4*b^4 +2*c^4 = d^4 არ აქვს ამონახსნი.

d იყოფა ორზე, d=2*k, d^4=16*k^4.

8*a^4 + 4*b^4 +2*c^4 = 16*k^4

4*a^4 + 2*b^4 +c^4 = 8*k^4  - ახლა გამოდის რომ c იყოფა 2-ზე, შემდეგ b გაიყოფა, შემდეგ a და ისევ d  და ასე უსასრულოდ. მივიღეთ უსასრულოდ დაშვება, შესაბამისად ტოლობას არ აქვს ამონახსნი.

problem 2.3

უსასრულოდ დაშვების მეთოდით დაამტკიცეთ, რომ 8-ზე დიდი ან ტოლი ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოვადგინოთ 3-ის და 5-ის ჯერადების ჯამის სახით.

შევამოწმოთ 8, 9, 10, 11.

8 = 5+3;  9=3*3; 10=2*5;  11=5+2*3.

ახლა კი დავუშვათ, რომ არსებობს 8-ზე დიდი მთელი რიცხვები, რომლებიც ვერ წარმოდგებიან 3-ისა და 5-ის ჯერადების ჯამის სახით. მათ შორის უმცირესი იყოს m.  თუ m ვერ წარმოდგება 3-ისა და 5-ის ჯერადების ჯამის სახით, მაშინ ვერც m-3 წარმოდგება და ვერც m-3-3 და ა.შ. უსასრულოდ დაშვების მეთოდით, ადრე თუ გვიან "ჩავალთ" ერთ ერთ რიცხვამდე 8-სა და 11-ს შორის, რომლებიც წარმოდგებიან 3-ისა და 5-ის ჯერადების ჯამის სახით. გამოდის, რომ ასეთი m არ არსებობს (აქ ცოტა ჩამოყალიბება გამიჭირდა, კომენტარებში თუ უკეთესად ჩამოაყალიბებთ, მადლობას გეტყვით :) ).

problem 2.4

უ.დ.მ.-ით დაამტკიცეთ: 0+1+4+9+......+n^2 = n*(n+1)(2*n+1)/6

ბაზა: შევამოწმოთ რომ ნულისთვის სრულდება.
ახლა დავუშვათ, რომ რაღაც რიცხვებისთვის არ სრულდება.ისინი ქვემოდან შემოსაზღვრულები არიან. მათ შორის უმცირესი იყოს m. მაშინ m-1-ისთვის უნდა სრულდებოდეს. ჩავსვათ m-1. დავუმატოთ m^2 და მივიღებთ, რომ m-ისთვისაც სრულდება. მივიღეთ წინააღმდეგობა.

ამოცანა ვარკვლავზე

11 კაცში უნდა დავადგინოთ არის თუ არა ვასკვლავი 30 კითხვით. ვარსკვლავი არის ადამიანი, რომელსაც ჯგუფში ყველა იცნობს, თვითონ კი არავის იცნობს.

ამოხსნის იდეა ეკუთვის ყოვლად „ძალითლექტორ“ რატი მაჭავარიანს.

დავწეროთ თითოეულის სახელი ფურცელზე, ფურცლები ჩავყაროთ კალათაში. ყოველ ჯერზე ამოვიღოთ 2 ფურცელი. პირველს (ვისი სახელიც ამოვიღეთ) ვკითხოთ მეორეს თუ იცნობს. თუ არ იცნობს, მეორე ვერ იქნება ვარსკვლავი და მის სახელიან ფურცელს კალათაში აღარ დავაბრუნებთ. თუ იცნობს, თვითონ ვერ იქნება ვარსკვალი და მის სახელს აღარ ჩავაბრუნებთ. 10 ასეთი კითხვის შემდეგ კალათაში დარჩება 1 ადამიანის სახელი, რომელიც შეიძლება იყოს ვარსკვლავი. ამ ადამიანს დავუსვამთ 10 კითხვას, დანარჩენ 10 კაციდან თუ ყველას იცნობს, დასადგენად. და იმ 10 კაცსაც, თითოეულს დავუსვამთ შეკითხვას ამ მე-11-ეს თუ იცნობენ და ჯამში 30 კითხვით დავადგენთ, ვინაა ვარსკვლავი (და გვყავს თუ არა იგი).