ლექცია 25, Counting

problem 16.14

დავუშვათ 2 იგენტური 52 კარტიანი დასტა არეულია ერთმანეთში. რამდენგვარად შეგვიძლია 2 დასტად დავყოთ.

პასუხი:
104!/2^52. ახლა რატომ. 104! აღნიშნავს თანმიმდევრობას ამ კარტებისა. ვინაიდან გვაქვს 2-2 ერთნაირი კარტი, რომელთა ადგილების გაცვლა არაფერს არ ცვლის, გამოდის, რომ 2^52 ვარიანტია კარტების გადაადგილების ისე, რომ არაფერი არ შეიცვალოს. ჯამში 52 ასეთი წყვილია.

                  -by RatMatch


problem 16.20(a,b)

ა)bookkeepers rule-ის მიხედვით:

9!/2!*3!*2!

ბ)x1 ჩაანაცვლეთ იმდენი ერთიანით რასაც უდრის x1, ნიშანი + ჩაანაცვლეთ ნოლით, x2 ჩაანაცვლეთ იმდენი ერთიანით რასაც უდრის x2, და ასე შემდეგ. მივიღებთ 12–ნიშნა ბინარულ რიცხვს ზუსტად 4 ნოლიანით. მათი რაოდენობაა 12!/4!*8!

problem 16.19(c,d)

ამოხსენით შემდეგი ამოცანები ბიექციის აღწერით მოცემულ სიმრავლესა და თქვენთვის ნაცნობ სიმრავლეს შორის.

c)რამდენი არაუარყოფითი მთელი რიცხვებისგან შედგენილი ფესვები აქვს უტოლობას:

x1+x2+........+x10 <=100

ესე იგი, უტოლობის მაგივრად ტოლობა რომ ყოფილიყო, ასე ვიზამდით, x-ების მაგივრად იმდენ ერთიანს დავწერდით, რამხელაც იყო x და +ების მაგივრად დავწერდით 0-ებს და ვიტყოდით რომ იქნებოდა C(109)9 - რამდენნაირად შეგვიძლია გავანაწილოთ 9 ცალი 0-იანი 109 ადგილას. მაგრამ ვინაიდან გვაქვს <=, იქნება ასეთი რაღაცა:

C(109)9+C(108)9+C(107)9+......+C(9)9

პირველი C აღნიშნავს 100-ს რამდენ შემთხვევაში გაუტოლდება, მეორე - 99, მესამე -98 ..... 0-ს რამდენი გაუტოლდება.

d)საკოორდინატო სიბრტყეზე ვდგამთ ნაბიჯებს ან მარჯვნივ ერთი ერთეულით, ან ზევით.

(i)რამდენი გზაა (0,0)-სა და (20,30)-ს შორის?

(ii)რამდენი გზაა (0,0)სა და (20,30)-ს შორის ისეთი, რომლებიც (10,10) წერტილს გაივლიან?

 (iii)რამდენი  გზაა (0,0)სა და (20,30)-ს შორის ისეთი, რომლებიც არ გაივლიან წერტილებს (10,10) და (15,20)?


c)გავაკეთოთ 10 გამომყოფი (9-ის მაგივრად, 16.20(ბ)-ს ანალოგიურად) მეათე გამომყოფის იქით ჩაყრილ 1-იანებს არ ვაჯამებთ. შესაბამისად, მივიღებთ:
110!/100!*10!

d) (i)50!/20!*30!.   50!-სვლების რაოდენობა. 20!-მარჯვნივ სვლები. 30!-ზევით სვლები.
(ii)დავთვლით გზებს 0,0-დან 10,10-მდე, 10,10-დან 20,30-მდე და წინაგ გამოვაკლებთ.
(iii)ანალოგიურად.